Symmetrization

En matemáticas, el symmetrization es un proceso que convierte cualquier función en variables n a una función simétrica en variables n.

A la inversa, el anti-symmetrization convierte cualquier función en variables n en una función antisimétrica.

2 variables

Deje ser un juego y un grupo de Abelian. Considerando un mapa, se llama un mapa simétrico si para todos.

El symmetrization de un mapa es el mapa.

A la inversa, los anti-symmetrization o sesgan-symmetrization de un mapa es el mapa.

La suma del symmetrization y el anti-symmetrization es

Así, lejos de 2, queriendo decir si 2 es invertible, tal en cuanto a los números reales, uno se puede dividir en 2 y expresar cada función como una suma de una función simétrica y una función antisimétrica.

El symmetrization de un mapa simétrico es simplemente su doble, mientras el symmetrization de un mapa alterno es el cero; del mismo modo, el anti-symmetrization de un mapa simétrico es el cero, mientras el anti-symmetrization de un mapa antisimétrico es su doble.

Formas de Bilinear

El symmetrization y anti-symmetrization de un mapa de bilinear son bilinear; así lejos de 2, cada forma de bilinear es una suma de una forma simétrica y sesgar - forma simétrica, y no hay ninguna diferencia entre una forma simétrica y una forma cuadrática.

En 2, no cada forma se puede descomponer en una forma simétrica y sesgar - forma simétrica – por ejemplo, sobre los números enteros, la forma simétrica asociada (sobre el rationals) puede tomar medio valores enteros, mientras sobre una función es sesgan - simétrico si y sólo si es simétrico (como).

Esto lleva a la noción de formas de ε-quadratic y formas de ε-symmetric.

Teoría de representación

En términos de teoría de representación:

Como el grupo simétrico de pedido dos iguala el grupo cíclico de pedido dos , esto equivale a Fourier distinto transforman del pedido dos.

n variables

Más generalmente, considerando una función en variables n, uno puede symmetrize tomando la suma sobre todas las permutaciones de las variables o anti-symmetrize tomando la suma sobre todas las permutaciones planas y restando la suma sobre todas las permutaciones raras.

¡

Aquí el symmetrizing (respectivamente anti-symmetrizing) un simétrico (respectivamente antisimétrico) función se multiplica por n! – ¡así si n! es invertible, tal como si uno trabaja sobre el rationals o sobre un campo de característica entonces estas proyecciones de la producción.

En términos de teoría de representación, éstos sólo ceden las subrepresentaciones correspondiente a la representación trivial y representación del signo, pero para hay otros – ver la teoría de representación del grupo simétrico y polinomios simétricos.

Mejorar

Considerando una función en variables k, uno puede obtener una función simétrica en variables n tomando la suma sobre subconjuntos del elemento k de las variables. En la estadística, esto se menciona como mejorar, y las estadísticas asociadas se llaman la U-estadística.

Notas



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