Prueba de Schur

En el análisis matemático, la Prueba de Schur (nombrado por el matemático alemán Issai Schur) es el nombre para el prendido la norma del operador

de un operador integral en términos de su grano de Schwartz

(ver el teorema del grano de Schwartz).

Aquí está una versión.

Deje ser dos espacios mensurables

(tal como).

Deje ser un operador integral con el grano de Schwartz no negativo

:

:

Si allí existen funciones y

y numera tal que

:

para casi todos y

:

para casi todos, entonces

se extiende a un operador continuo

con la norma del operador

:

Tales funciones, se llaman las funciones de prueba de Schur.

En la versión original, es una matriz y

.

Uso común y la desigualdad de Young

Un uso común de la prueba de Schur debe tomar

Entonces nos ponemos:

:

\Vert T\Vert^2_ {L^2\to L^2 }\\le

\sup_ {x\in X }\\int_Y|K (x, y) | \, dy

\cdot

\sup_ {y\in Y }\\int_X|K (x, y) | \, dx.

</matemáticas>

Esta desigualdad es válida no importa si el grano de Schwartz

es

no negativo o no.

Una declaración similar sobre normas del operador se conoce como la desigualdad de Young:

si

:

+ \sup_y\Big (\int_X|K (x, y) | ^r \, dx\Big) ^ {1/r }\\le C, </matemáticas>

donde satisface, para unos, entonces el operador se extiende a un operador continuo, con

Prueba

Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad (1), nos ponemos:

:

Los \begin {alinean} |Tf (x) | ^2 =\left |\int_Y K (x, y) f (y) \, dy\right |^2

&\\le \left (\int_Y K (x, y) q (y) \, dy\right)

\left (\int_Y \frac {K (x, y) f (y) ^2} {q (y)} dy\right) \\

&\\le\alpha p (x) \int_Y \frac {K (x, y) f (y) ^2} {q (y)} dy.

Los \end {alinean }\

</matemáticas>

Integrando la susodicha relación en,

usando el Teorema de Fubini, y aplicando la desigualdad (2), nos ponemos:

:

\le \alpha \int_Y \left (\int_X p (x) K (x, y) \, dx\right) \frac {f (y) ^2} {q (y)} dy

\le\alpha\beta \int_Y f (y) ^2 dy = \alpha\beta\Vert f\Vert_ {L^2} ^2. </matemáticas>

Resulta que

para cualquiera.

Véase también



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