En el análisis matemático, la Prueba de Schur (nombrado por el matemático alemán Issai Schur) es el nombre para el prendido la norma del operador
de un operador integral en términos de su grano de Schwartz
(ver el teorema del grano de Schwartz).
Aquí está una versión.
Deje ser dos espacios mensurables
(tal como).
Deje ser un operador integral con el grano de Schwartz no negativo
:
:
Si allí existen funciones y
y numera tal que
:
para casi todos y
:
para casi todos, entonces
se extiende a un operador continuo
con la norma del operador
:
Tales funciones, se llaman las funciones de prueba de Schur.
En la versión original, es una matriz y
.
Un uso común de la prueba de Schur debe tomar
Entonces nos ponemos:
:
\Vert T\Vert^2_ {L^2\to L^2 }\\le
\sup_ {x\in X }\\int_Y|K (x, y) | \, dy
\cdot
\sup_ {y\in Y }\\int_X|K (x, y) | \, dx.
</matemáticas>
Esta desigualdad es válida no importa si el grano de Schwartz
esno negativo o no.
Una declaración similar sobre normas del operador se conoce como la desigualdad de Young:
si
:
+ \sup_y\Big (\int_X|K (x, y) | ^r \, dx\Big) ^ {1/r }\\le C, </matemáticas>
donde satisface, para unos, entonces el operador se extiende a un operador continuo, con
Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad (1), nos ponemos:
:
Los \begin {alinean} |Tf (x) | ^2 =\left |\int_Y K (x, y) f (y) \, dy\right |^2
&\\le \left (\int_Y K (x, y) q (y) \, dy\right)
\left (\int_Y \frac {K (x, y) f (y) ^2} {q (y)} dy\right) \\
&\\le\alpha p (x) \int_Y \frac {K (x, y) f (y) ^2} {q (y)} dy.
Los \end {alinean }\
</matemáticas>
Integrando la susodicha relación en,
usando el Teorema de Fubini, y aplicando la desigualdad (2), nos ponemos:
:
\le \alpha \int_Y \left (\int_X p (x) K (x, y) \, dx\right) \frac {f (y) ^2} {q (y)} dy
\le\alpha\beta \int_Y f (y) ^2 dy = \alpha\beta\Vert f\Vert_ {L^2} ^2. </matemáticas>
Resulta que
para cualquiera.
