Superespacio armónico

En supersimetría, superespacio armónico

es un modo de tratar con teorías supersimétricas con 8 verdaderos generadores SUSY en un manifiestamente covariant manera. Resulta que los 8 verdaderos generadores SUSY son pseudoverdaderos, y después complexification, equivalen al producto tensor de cuatro Dirac spinor dimensionales con la representación fundamental de SU (2). El espacio del cociente, que es un 2-sphere/Riemann esfera.

El superespacio armónico describe N=2 D=4, N=1 D=5 y N = (1,0) D=6 SUSY en un manifiestamente covariant manera.

Hay muchos sistemas coordenados posibles sobre S, pero un elegido no sólo implica coordenadas redundantes, sino también resulte ser un coordinatization de. Sólo conseguimos S después de una proyección. Esto es por supuesto Hopf fibration. Considere la acción izquierda de SU (2) sobre sí. Nos podemos extender entonces esto al espacio de complejo valoró funciones lisas sobre SU (2). En particular, tenemos el subespacio de funciones que transforman como la representación fundamental bajo SU (2). La representación fundamental (hasta el isomorfismo, por supuesto) es un dos espacio vectorial complejo dimensional. Vamos a denotar los índices de esta representación por mí, j, k... =1,2. El subespacio de interés consiste en dos copias de la representación fundamental. Bajo la acción correcta por U (1) - que viaja a diario con cualquier acción izquierda — una copia tiene un "precio" de +1 y los otros de-1. Vamos a poner etiqueta a las funciones de base.

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El despido en las coordenadas da

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Todo se puede interpretar en términos de geometría algebraica. La proyección da la "transformación de medida" donde φ es cualquier número real. Piense en S como un U (1) - bulto principal sobre S con una primera clase de Chern distinta a cero. Entonces, "los campos" sobre S son caracterizados por una integral U (1) precio dado por la acción correcta de U (1). Por ejemplo, el u tiene un precio de +1 y u de-1. Según la convención, los campos con un precio de +r son denotados por una superescritura con r + 's, y lo mismo para campos con un precio de-r. Los R-gastos son aditivos bajo la multiplicación de campos.

Los gastos de SUSY son, y las coordenadas de fermionic correspondientes son. Superespacio armónico da el producto del superespacio ampliado ordinario (con 8 verdaderos fermionic coordinatates) con S con U no trivial (1) bulto sobre ello. El producto algo se enrosca en que las coordenadas de fermionic también se cobran bajo U (1). Este precio da

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Podemos definir los derivados covariant con la propiedad que superconmutan con las transformaciones SUSY, y donde f es cualquier función de las variables armónicas. Del mismo modo, defina

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y

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Un supercampo chiral q con un R-precio de r satisface. Un escalar hypermultiplet da un supercampo chiral. Tenemos la coacción adicional

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Según el teorema del índice del Atiyah-cantante, el espacio de solución a la coacción anterior es un dos distribuidor complejo dimensional.

Relación a quaternions

El grupo se puede identificar con el grupo de la Mentira de quaternions con la norma de la unidad bajo la multiplicación., y de ahí los quaternions siguen el espacio de la tangente del superespacio ampliado. Los bosonic spacetime dimensiones transforman trivialmente bajo mientras las dimensiones fermionic transforman según la representación fundamental. La multiplicación izquierda por quaternions es lineal. Ahora considere el subespacio de unidad quaternions sin el verdadero componente, que es isomorphic a S. Cada elemento de este subespacio puede servir del número imaginario i en un subálgebra compleja del quaternions. De este modo, para cada elemento de S, podemos usar la unidad imaginaria correspondiente para definir una estructura compleja y verdadera sobre el superespacio ampliado con 8 verdaderos generadores SUSY. La totalidad de todas las estructuras CR para cada punto en S es el superespacio armónico.

Véase también



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